3 . Selecione a alternativa que fornece a expressão correta para

∫ 1 x 4 + 4 ln ⁡ x 4 d x

A : 1 3 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 + C ,     C ∈ R .

B : 3 4 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 + C ,     C ∈ R .

C : 3 4 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 ln ⁡ x + C ,     C ∈ R .

D : 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 + C ,     C ∈ R .

E : 1 4 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 ln ⁡ x + C ,     C ∈ R .

Passo 1

Vem comigo que a gente faz essa juntos!

Temos que resolver essa linda integral que assusta logo de cara, mas se fizermos a substituição certa, ela vira uma coisa mais amigável.

Então vamos usar o método da substituição nela, vamos ter o seguinte:

u = 4 + 4 ln ⁡ x

d u = 4 x d x

⇒ 1 4 d u = 1 x d x

Usando isso nossa integral fica da seguinte forma:

∫ 1 4 u 4 d u

Ficou bem melhor, então temos que resolver essa integral e depois que tivermos o resultado a gente volta com a substituição que fizemos e encontramos a resposta em termos de x .

Vamos nessa!

Passo 2

Temos o seguinte:

∫ 1 4 u 4 d u = 1 4 ∫ 1 u 4 d u

Arrumando mais pouquinho, temos:

1 4 ∫ u - 1 / 4 d u

Agora integrando temos:

1 4 u - 1 / 4 + 1 - 1 4 + 1 + C = 1 4 u 3 / 4 3 4 + C

Então temos que:

∫ 1 4 u 4 d u = u 3 / 4 3 + C

Passo 3

Agora usando que:

u = 4 + 4 ln ⁡ x

Temos que:

∫ 1 x 4 + 4 ln ⁡ x 4 d x = 1 3 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 + C

Então a alternativa correta é a letra A .

Fechamos com sucesso essa questão!

Resposta

A : 1 3 4 + 4 ln ⁡ x 3 4 + C ,     C ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x