Sendo que f é contínua e ∫ 0 9 f x d x = 12 , determine ∫ 0 3 f 3 x d x e ∫ 0 3 x f x 2 d x .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz que a integral de uma função f no intervalo de 0 a 9 é igual a 12 .

Dito isso, a questão nos pede para determinar as seguintes integrais:

∫ 0 3 f 3 x d x

E

∫ 0 3 x f x 2 d x

Para isso, basta fazermos uma substituição simples em cada função acima!!

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... fazendo u = 3 x ∴ d u = 3 d x na primeira integral, temos:

∫ 0 3 f 3 x d x = 1 3 ∫ 0 9 f u d u

Obs: o limite de integração mudou porque para x = 3 , u = 9 .

E, sabemos pelo enunciado que ∫ 0 9 f u d u = 12 , logo:

∫ 0 3 f 3 x d x = 1 3 * 12 ∴

∫ 0 3 f 3 x d x = 4

Passo 3

Bom... fazendo u = x 2 ∴ d u = 2 x d x na primeira integral, temos:

∫ 0 3 x f x 2 d x = 1 2 ∫ 0 9 f u d u

Obs: o limite de integração mudou porque para x = 3 , u = 9 .

E, sabemos pelo enunciado que ∫ 0 9 f u d u = 12 , logo:

∫ 0 3 x f x 2 d x = 1 2 * 12 ∴

∫ 0 3 x f x 2 d x = 6

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 3 f 3 x d x = 4

∫ 0 3 x f x 2 d x = 6

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