Suponha que a receita marginal de uma empresa pela fabricação e venda da baterias seja d r d x = 2 - 2 x + 1 2 onde r é medido em milhares de reais e x milhares de unidades. Quanto dinheiro a companhia deve esperar de uma população de x = 3 mil baterias? Para isto integre o rendimento marginal de x = 0 a x = 3 .

Passo 1

Bom, o enunciado já deixou bem claro o que precisamos fazer para achar o valor V que a companhia deve esperar para essa quantidade de baterias:

V = ∫ 0 3 2 - 2 x + 1 2   d x

Vamos separar essa integral em duas:

V = ∫ 0 3 2   d x - ∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

Agora é só resolver cada uma separadamente.

Passo 2

Começando pela mais difícil:

∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

Vamos aplicar uma substituição:

u = x + 1

d u d x = 1

E quando x = 0 , u = 1 , e quando x = 3 , u = 4 . Então a integral fica:

∫ 1 4 2 u 2   d u = - 2 u 4 1 = - 2 4 + 2 1 = - 1 2 + 2 = 3 2

Passo 3

Agora a outra integral é bem mais fácil:

∫ 0 3 2   d x = 2 x 3 0 = 2 3 - 2 0

∫ 0 3 2   d x = 6

E agora voltando na equação lá de cima:

V = ∫ 0 3 2   d x - ∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

V = 6 - 3 2 = 6 - 1,5 = 4,5

Que segundo o enunciado, é dado em milhares. Pronto!

Resposta

A companhia deve esperar 4,5 mil em receita.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x