UNB – Sem Campus – Cálculo 1 – Listas – Listas de Aplicações Calculo 1 – UNB – Lista 11 – Questão 3
Suponha que a temperatura de um corpo imerso em um meio com temperatura constante e igual a seja tal que graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, a taxa de variação é proporcional à diferença entre as temperaturas e . Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a , segue que
A partir dos dados apresentados, determine a temperatura .
Determine o instante em que .
O que acontece com a temperatura após muito tempo?
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
O enunciado nos apresenta a Lei de Resfriamento de Newton, enunciado o que ela quer dizer, e apresentando um formato particular com constante de proporcionalidade . A alternativa pede que encontremos para isso teremos que realizar uma integração na expressão dada, vamos ver que é possível integrar diretamente fazendo apenas substituições simples. Para a alternativa iremos precisar utilizar o resultado obtido na alternativa , já que ele pede o instante de tempo em que temos uma temperatura específica. E, por último, na alternativa , temos que avaliar qual o comportamento de após muito tempo, ou seja
Vamos fazer isso então! Vem comigo!
Passo 2
Primeira coisa, vamos escrever a expressão dada
Se lembrarmos que , temos
Se multiplicarmos os dois lados por , e passarmos dividindo, temos que
Por simplicidade vou chamar , podemos integrar ambos os lados com os limites de integração adequados, para obter
Você lembra como resolver esta integral? Se não, bora lá!
Passo 3
Primeira coisa, vamos usar a informação do enunciado que diz que , e portanto, temos
A integração do lado direito pode ser identificada como
No lado esquerdo precisamos fazer uma mudança de variável do tipo e , de forma que temos
Voltando para a variável original, podemos aplicar os limites de integração, temos
Onde na última igualdade utilizei a propriedade do logaritmo . Agora só precisamos isolar , vamos fazer isso!
Passo 4
Utilizando os resultados das integrais acima, temos
Para cortar a função logarítmica precisamos aplicar a função exponencial em ambos os lados, de forma que temos
Isolando , temos então
Beleza, essa é a alternativa . Vamos seguir para a próxima!
Passo 5
Queremos agora tal que , beleza? Vamos utilizar a expressão que acabamos de achar, fazendo e , temos
Vamos isolar a exponencial, temos que
Simplificando o lado esquerdo, temos
Para eliminar a função exponencial aplicamos a função logarítmica e obtemos que
Portanto, temos que
Maaaravilha! A alternativa já foi! Vamos para a última!
Passo 6
Agora precisamos analisar o comportamento de quando , ou seja, temos que
Podemos separar isso em dois limites
Pois temos que o limite para muito grande leva a exponencial à zero! Note que este resultado faz sentido físico, uma vez que a tendência é que qualquer corpo resfrie para a temperatura ambiente após muito tempo! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta