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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 470123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

3. Um trem de 300   t o n e l a d a s parte do repouso e seus motores lhe fornecem uma força de 90   m i l   N e w t o n s . Considerando o atrito do ar, é possível mostrar que a velocidade, 0   ≤   v ( t )   <   90 , do trem satisfaz a equação.

* 300 v ' t 90 - v t = 1

  1. Use a substituição u = v t e integre 300 v ' t 90 - v t com respeito ao tempo.
  2. Integre a equação * acima e determine v t em função de uma constante arbitrárica de integração
  3. Sabendo que v 0 = 0 , determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a velocidade do trem após um longo período de tempo.

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado nos apresenta um probleminha, mas ele pede coisas bem direta para fazermos. Por exemplo, na letra temos que integrar 300 v ' t 90 - v t em função do tempo e ele ainda dá a dica de qual substituição usar!

    2. A integral fica assim:

    ∫ 300 v ' t 90 - v t d t

    Agora bora integrar!

    Passo 2

    O enunciado disse para fazermos

    u = v t

    Derivando, temos que

    d u = v ' t d t

    Fazendo a substituição, ficamos com

    ∫ 300 v ' t 90 - v t d t = ∫ 300 90 - u d u

    Agora vamos precisar fazer outra substituição simples para resolver essa integral,

    x = 90 - u

    d x = d u

    Agora a integral fica assim

    ∫ 300 90 - u d u = ∫ 300 x d x

    Integrando, ficamos com

    ∫ 300 x d x = - 300 ln ⁡ x + C

    Mas lembra que x = 90 - u e u = v t , então temos que x = 90 - v t . Logo a integral será:

    ∫ 300 v ' t 90 - v t d t = - 300 ln ⁡ 90 - v t

    Prontinho! Vamos para a letra b.

    Passo 3

  2. A letra b parece com a letra a, mas elas são diferentes. Na letra a, nós tivemos que integrar uma parte da função, agora temos que integrar toda a função * .

    3. Como já integramos o lado esquerdo da função na letra a, agora vamos integrar o lado direito da função.

    ∫ 1   d t = t + C

    Onde, esse C é a nossa constante arbitraria.

    Passo 4

    Agora vamos montar a igualdade e isolar v t

    - 300 ln ⁡ 90 - v t = t + C

    ln ⁡ 90 - v t = - t + C 300

    Para isolar v t , vamos ter que usar essa propriedade exponencial,

    e ln ⁡ x = x

    Aplicando,

    90 - v t = e - t + C 300

    v t = 90 - e - t + C 300

    Prontinho! Vamos para letra c!

    Passo 5

  3. Aqui vamos precisar achar quem é C , a nossa constante arbitraria. E para isso, vamos usar a seguinte informação:

v 0 = 0

Então nossa equação fica assim:

v 0 = 90 - e - 0 + C 300 = 0

Vamos isolar C ,

e - C 300 = 90

Aplicando ln ⁡

- C 300 = ln ⁡ 90

C = - 300 ln ⁡ 90

Fim!

Resposta

  1. - 300 ln ⁡ 90 - v t
  2. v t = 90 - e - t + C 300
  3. C = - 300 ln ⁡ 90

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x