2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(i) ∫ 0 π / 6 cos ⁡ x s e n 100 x d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = cos ⁡ x s e n 100 x entre x = π / 6 e x = 0 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 100 x d x

Se fizermos u = s e n x , vamos obter d u d x = cos ⁡ x , ou seja, d x = 1 cos ⁡ x d u .

Adaptando também os limites de integração, temos que para x = π 6

u f = s e n π 6 = 1 2

Já para x = 0

u i = s e n 0 = 0

Substituindo s e n x , d x e os limites de integração na nossa integral, vamos obter

∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 100 x d x → ∫ 0 1 2 cos ⁡ x u 100 1 cos ⁡ x d u

∫ 0 1 2 u 100 d u

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ u 100 d u = u 100 + 1 100 + 1 = u 101 101

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 u 100 d u = 1 2 101 101 - 0 101 101

∫ 0 1 2 u 100 d u = 1 2 101 101 = 1 2 101 · 101

Portanto, o resultado da nossa integral é

∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 100 x d x = 1 2 101 · 101

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 100 x d x = 1 2 101 · 101

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