Use integração por substituição para calcular as integrais abaixo.

∫ 0 π sin ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ + 1 d x

Passo 1

Olá meu caro amigo, espero que esteja animado para aprender mais um pouco sobre cálculo. Vamos da continuidade a mais uma resolução dessa bela lista.

O conselho para nos darmos bem, e resolvermos essa integral da forma mais rápida possível é manipula-la de forma que possamos ter no final de toda a manipulação, uma integração já conhecida.

Passo 2

A integral dessa questão nos remete a seguinte integral,

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C

Sendo assim, vamos tentar manipular a equação da nossa integral até chegarmos na configuração acima. Note que, 2 cos 2 ⁡ θ + 1 = 2 cos ⁡ θ 2 + 1 . Então se chamarmos de u = 2 cos ⁡ θ temos que d u = - 2 sin ⁡ θ d θ .

Os nossos novos limites de integração são,

θ = 0 → u = 2 ,   θ = π → u =   - 2

Então a nossa nova integral é,

∫ 2 - 2 1 u 2 + 1 d u

- 1 2 arctan ⁡ u ​ 2 - 2

- arctan ⁡ - 2 - arctan ⁡ 2 2 = 2 arctan ⁡ ( 2 )

E aqui terminamos mais uma questão, espero que tenha entendido e aprendido um pouco mais. Um forte abraço e até uma próxima.

Resposta

2 arctan ⁡ ( 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x