UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 5a
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
- Se é par então
Passo 1
E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!
Pessoal, a questão quer que utilizemos o método da mudança de variáveis, ou seja, a regra da substituição para provar que Se é par então , e em seguida devemos fazer uma explicação geométrica ( gráfica) sobre o nosso problema em questão.
Vocês estão prontos, crianças???
Passo 2
Inicialmente, iremos separar os limites de integração da nossa integral de forma que as novas integrais se somem.
Agora utilizaremos o método da substituição como o enunciado nos pediu. Dessa forma, chamaremos .
Passo 3
Nesse passo iremos manipular a integral , substituindo temos que:
Como o enunciado nos informou que a função é de paridade par, isso significa que . Portanto,
E como existe uma propriedade das integrais que afirma que podemos inverter a ordem dos limites de integração desde que seja acrescentado um sinal negativo à função a ser integrada, podemos afirmar que
Passo 4
Dessa forma, temos que
Como a integral representa a área do gráfico isso significa que quando temos a integral de uma função par, as áreas se somam e quando temos a integral de uma função ímpar essas áreas se subtraem.
Resposta
Resolução nos passos acima