UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 5b
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
b) Se é ímpar então
Passo 1
Falaaaa, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí? Por aqui, eu já tenho certeza que vamos sair craques nessa matéria com a resolução dessa questãozinha. Bora??
Pessoal, a questão quer que utilizemos o método da mudança de variáveis, ou seja, a regra da substituição para provar que se é ímpar então , e em seguida devemos fazer uma explicação geométrica ( gráfica) sobre o nosso problema em questão.
Passo 2
Inicialmente, iremos separar os limites de integração da nossa integral de forma que as novas integrais se somem.
Agora utilizaremos o método da substituição como o enunciado nos pediu. Dessa forma, chamaremos .
Passo 3
Nesse passo iremos manipular a integral , substituindo temos que:
Como o enunciado nos informou que a função é de paridade ímpar, isso significa que . Portanto,
E como existe uma propriedade das integrais que afirma que podemos inverter a ordem dos limites de integração desde que seja acrescentado um sinal negativo à função a ser integrada, podemos afirmar que
Passo 4
Dessa forma, temos que
Como a integral representa a área do gráfico isso significa que quando temos a integral de uma função par, as áreas se somam e quando temos a integral de uma função ímpar essas áreas se subtraem.
Resposta
Resolução nos passos acima