Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.

b) Se f é ímpar então ∫ - a a f ( x ) d x   = 0

Passo 1

Falaaaa, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí? Por aqui, eu já tenho certeza que vamos sair craques nessa matéria com a resolução dessa questãozinha. Bora??

Pessoal, a questão quer que utilizemos o método da mudança de variáveis, ou seja, a regra da substituição para provar que se f é ímpar então ∫ - a a f ( x ) d x   = 0 , e em seguida devemos fazer uma explicação geométrica ( gráfica) sobre o nosso problema em questão.

Passo 2

Inicialmente, iremos separar os limites de integração da nossa integral de forma que as novas integrais se somem.

∫ - a a f ( x ) d x   = ∫ - a 0 f ( x ) d x   + ∫ 0 a f ( x ) d x  

Agora utilizaremos o método da substituição como o enunciado nos pediu. Dessa forma, chamaremos y   =   - x .

Passo 3

Nesse passo iremos manipular a integral ∫ - a 0 f ( x ) d x , substituindo y   =   - x temos que:

∫ - a 0 f ( x ) d x =   ∫ a 0   f ( - y ) ( - 1 ) d y     =   -   ∫ a 0   f ( - y ) d y  

Como o enunciado nos informou que a função f é de paridade ímpar, isso significa que f ( y )   =   -   f ( - y ) . Portanto,

∫ - a 0 f ( x ) d x   =   -   ∫ a 0   f ( - y ) d y   =       ∫ a 0   f ( y ) d y  

E como existe uma propriedade das integrais que afirma que podemos inverter a ordem dos limites de integração desde que seja acrescentado um sinal negativo à função a ser integrada, podemos afirmar que

      ∫ a 0   f ( y ) d y   =   - ∫ 0 a   f ( y ) d y   =   -   ∫ 0 a   f ( x ) d x    

Passo 4

Dessa forma, temos que

∫ - a a f ( x ) d x   = ∫ - a 0 f ( x ) d x   + ∫ 0 a f ( x ) d x  

  ∫ - a a f ( x ) d x   =   -   ∫ 0 a   f ( x ) d x     + ∫ 0 a f ( x ) d x   =   0  

Como a integral representa a área do gráfico isso significa que quando temos a integral de uma função par, as áreas se somam e quando temos a integral de uma função ímpar essas áreas se subtraem.

Resposta

Resolução nos passos acima

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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