Utilizando a integração por substituição x = u ( x ) e d u = u ' ( x ) d x , calcule cada uma das integrais indefinidas:

(c)  ∫ 1 2 x + 5 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ 1 2 x + 5 d x usando a integração por substituição x = u e d x = d u . Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Escolha u = 2 x + 5 , então d u = 2 d x .

Passo 2

Passo 2: Substitua u e d u na integral:

∫   1 2 x + 5 d x = 1 2 ∫   1 u d u

Passo 3

Passo 3: Integre a nova integral em relação a u :

1 2 ∫   1 u d u = 1 2 l n ⁡ | u | + C

Passo 4

Passo 4: Lembre-se de que escolhemos u = 2 x + 5 , então substitua u de volta em termos de x :

1 2 l n ⁡ | 2 x + 5 | + C

Resposta

A integral ∫ 1 2 x + 5 d x é dada por:

∫   1 2 x + 5 d x = 1 2 l n ⁡ | 2 x + 5 | + C

onde C é a constante de integração.Vamos confirmar o resultado derivando a expressão obtida:

d d x 1 2 l n ⁡ | 2 x + 5 | + C = 1 2 x + 5

Comparando com o integrando original 1 2 x + 5 , vemos que a derivada é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

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