Utilizando a integração por substituição x = u ( x ) e d u = u ' ( x ) d x , calcule cada uma das integrais indefinidas:

(f)  ∫ l n ⁡ ( x ) + 2 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ l n ⁡ ( x ) + 2 x d x usando a integração por substituição x = u e d x = d u . Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Escolha u = l n ⁡ ( x ) , então d u = 1 x d x .

Passo 2

Passo 2: Substitua u e d u na integral:

∫   l n ⁡ ( x ) + 2 x d x = ∫   ( u + 2 ) d u

Passo 3

Passo 3: Integre a nova integral em relação a u :

∫   ( u + 2 ) d u = u 2 2 + 2 u + C

Passo 4

Passo 4: Lembre-se de que escolhemos u = l n ⁡ ( x ) , então substitua u de volta em termos de x :

( l n ⁡ ( x ) ) 2 2 + 2 l n ⁡ ( x ) + C

Resposta

A integral ∫ l n ⁡ ( x ) + 2 x d x é dada por:

∫   l n ⁡ ( x ) + 2 x d x = ( l n ⁡ ( x ) ) 2 2 + 2 l n ⁡ ( x ) + C

onde C é a constante de integração.Vamos confirmar o resultado derivando a expressão obtida:

d d x ( l n ⁡ ( x ) ) 2 2 + 2 l n ⁡ ( x ) + C = l n ⁡ ( x ) x + 2

Comparando com o integrando original l n ⁡ ( x ) + 2 x , vemos que a derivada é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x