Utilizando a integração por substituição x = u ( x ) e d u = u ' ( x ) d x , calcule cada uma das integrais indefinidas:

(g)  ∫ x + 3 x 2 + 6 x 2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ x + 3 x 2 + 6 x 2 d x usando a integração por substituição x = u e d x = d u . Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Escolha u = x 2 + 6 x , então d u = ( 2 x + 6 ) d x .

Passo 2

Passo 2: Substitua u e d u na integral:

∫   x + 3 x 2 + 6 x 2 d x = ∫   x + 3 u 2 ⋅ 1 2 x + 6 d u

Passo 3

Passo 3: Simplifique a fração:

∫   x + 3 x 2 + 6 x 2 d x = 1 2 ∫   1 u 2 d u

Passo 4

Passo 4: Integre a nova integral em relação a u :

1 2 ∫   1 u 2 d u = - 1 2 u + C

Passo 5

Passo 5: Lembre-se de que escolhemos u = x 2 + 6 x , então substitua u de volta em termos de x :

- 1 2 x 2 + 6 x + C

Passo 6

Vamos confirmar o resultado derivando a expressão obtida:

d d x - 1 2 x 2 + 6 x + C = - 1 2 x 2 + 6 x 2 ⋅ ( 2 x + 6 )

Simplificando, obtemos x + 3 x 2 + 6 x 2 , que é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

Resposta

∫   x + 3 x 2 + 6 x 2 d x = - 1 2 x 2 + 6 x + C

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