Utilizando a integração por substituição x = u ( x ) e d u = u ' ( x ) d x , calcule cada uma das integrais indefinidas:

(k)  ∫ s e n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x usando a integração por substituição u = s i n ⁡ ( x ) e d u = c o s ⁡ ( x ) d x . Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Escolha u = s i n ⁡ ( x ) , então d u = c o s ⁡ ( x ) d x .

Passo 2

  Passo 2: Substitua u e d u na integral:

∫   s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x = ∫   u d u

Passo 3

Passo 3: Integre a nova integral:

∫   u d u = 1 2 u 2 + C

Passo 4

Passo 4: Substitua u = s i n ⁡ ( x ) de volta em termos de x :

1 2 s i n 2 ⁡ ( x ) + C

Passo 5

Vamos confirmar o resultado derivando a expressão obtida:

d d x 1 2 s i n 2 ⁡ ( x ) + C = s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x )

que é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

Resposta

∫   s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x = 1 2 s i n 2 ⁡ ( x ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x