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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

O valor de ∫ 0 1 1 ( 1 + x 2 ) ² d x é igual a:

Passo 1

Antes de resolver a integral definida, vamos resolver a integral indefinida

∫ 1 ( 1 + x 2 ) ² d x

Faremos a substituição

x = tan ⁡ u

d x = sec ² ⁡ u d u

∫ 1 ( 1 + tan ² ⁡ u ) ² sec ² ⁡ u d u

Agora, lembre-se que

1 + tan ² ⁡ x = sec ² ⁡ x

Logo

∫ 1 ( 1 + tan ² ⁡ u ) ² sec ² ⁡ u d u = ∫ 1 ( sec ² ⁡ u ) ² sec ² ⁡ u d u =

∫ 1 sec 4 ⁡ u sec ² ⁡ u d u =

∫ 1 sec 2 ⁡ u d u =

∫ cos ² ⁡ u d u =

Podemos escrever

cos ² ⁡ u = cos ⁡ 2 u + 1 2

1 2 ∫ cos ⁡ 2 u + 1   d u =

1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 2 ∫ 1 d u

Passo 2

Agora vamos substituir u na primeira integral.

s = 2 u

d u = d s 2

E a integral se torna:

1 4 ∫ cos ⁡ s d s + 1 2 ∫ 1 d u =

1 4 sen ⁡ s + 1 2 u + C =

Voltando para a variável u :

1 4 sen ⁡ 2 u + 1 2 u + C =

E finalmente voltando para a variável x :

1 4 sen ⁡ ( 2 arctan ⁡ x ) + 1 2 arctan ⁡ x + C

Passo 3

Agora podemos calcular a integral definida, cujo intervalo é de 0 a 1 .

1 4 sen ⁡ ( 2 arctan ⁡ x ) 0 1 + 1 2 arctan ⁡ x 0 = 1

1 4 sen ⁡ 2 arctan ⁡ 1 + 1 2 arctan ⁡ 1 - 1 4 sen ⁡ 2 arctan ⁡ 0 + 1 2 arctan ⁡ 0 =

1 4 sen ⁡ 2 π 4 + 1 2 . π 4 - 1 4 sen ⁡ 2.0 + 1 2 . 0 =

1 4 sen ⁡ π 2 + π 8 - 1 4 sen ⁡ 0 =

1 4 + π 8 - 0 =

1 4 + π 8

Resposta

1 4 + π 8

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x