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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro rearranjar a nossa integral

∫ d x x 2 - 4 3 2 = ∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4

Nosso primeiro passo é identificar qual nosso caso de substituição trigonométrica precisamos usar.

Perceba que temos

x 2 - 4

Que está no mesmo formato que

x 2 - a 2

Nesse caso

x = a sec ⁡ θ

Então teremos

x = 2 sec ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 2 sec ⁡ θ

d x = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x e d x na nossa integral

∫ d x x 2 - 4 3 2 = ∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ ( 4 sec 2 ⁡ θ - 4 ) 4 sec 2 ⁡ θ - 4 d θ

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Substituindo tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ d θ

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ 1 cos ⁡ θ d θ

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver mesmo nossa integral

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Vamos resolver por substituição

u = se n ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ 1 u 2 d u

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - 1 4 u

Refazendo a substituição

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - 1 4 sen ⁡ θ + C

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

x 2 = sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Então

cos ⁡ θ = 2 x

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto oposto

x 2 = 2 2 + h 2

h = x 2 - 4

Então

sen ⁡ θ = x 2 - 4 x

Substituindo na nossa integral

∫ d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - x 4 x 2 - 4 + C

Resposta

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