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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 2 ∫ 9 - 1 - 2 x - x 2 d x

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 2 ∫ 9 - x + 1 2 d x

Para facilitar nossa vida vamos fazer uma substituição

u = x + 1

d u = d x

Então

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 2 ∫ 9 - u 2 d u

Repare que está no mesmo formato de

a 2 - u 2

Nesse caso

u = a sen ⁡ θ

Então teremos

u = 3 sen ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d u , derivando

u = 3 sen ⁡ θ

d u = 3 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir u   e d u na nossa integral.

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 2 ∫ 9 - 9 sen 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 6 ∫ 9 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) cos ⁡ θ d θ

Vamos fazer a substituição cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 6 ∫ 9 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 18 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Por fim, vamos usar mais uma identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 18 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 ∫ d θ + 9 ∫ cos ⁡ ( 2 θ ) d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 ∫ d θ + 9 ∫ cos ⁡ ( 2 θ ) d θ

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 θ + 9 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para u e depois para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

sen ⁡ θ = u 3

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto adjacente

9 = h 2 + u 2

h = 9 - u 2

Com isso, encontramos

sen ⁡ θ = u 3

cos ⁡ θ = 9 - u 2 3

E

θ = arcsen ⁡ u 3

Substituindo na nossa integral

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 arcsen ⁡ u 3 + 9 u 3 9 - u 2 3

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 arcsen ⁡ u 3 + u 9 - u 2

Passo 6

Tá quase acabando! Vamos agora só substituir u = x + 1 , que foi a substituição que fizemos lá no início.

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 arcsen ⁡ u 3 + u 9 - u 2

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 arcsen ⁡ x + 1 3 + ( x + 1 ) 9 - x + 1 2

∫ 2 8 - 2 x - x 2 d x = 9 arcsen ⁡ x + 1 3 + x + 1 8 - 2 x - x 2 + C

Fim! Cuidado para não esquecer a constante de integração.

Resposta

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