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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Vamos resolver utilizando o método da substituição de

z = tan ⁡ x 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2

E

d x = 2 d z 1 + z 2

Passo 2

Temos

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x

Substituindo na nossa integral vamos ficar com

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 2 z 1 + z 2 1 - z 2 1 + z 2 + 1 2 d z 1 + z 2

Simplificando temos

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 z 1 - z 2 1 + z 2 + 1 + z 2 1 + z 2 d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 z 2 1 + z 2 d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 2 z d z

Passo 3

Agora podemos separar em duas integrais

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 2 z d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 z d z - 1 2 ∫ z   d z

Integrando ficamos com

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ z - 1 4 z 2 + C

Passo 4

Desfazendo a substituição z = tan ⁡ x 2

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 1 4 tan 2 ⁡ x 2 + C

Resolvido!

Resposta

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