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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 14b

Calcular as integrais usando o método da substituição trigonométrica

∫ x ³ 9 - x ² d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ x ³ 9 - x ² d x

Para conseguir resolver essa questão, vamos precisar usar a seguinte relação:

a 2 - x 2 → x = ase n ⁡ θ   o u   a cos ⁡ θ

Show, vamos começar.

Passo 2

Calculando

∫ x ³ 9 - x ² d x

a 2 - x 2 → x = asen ⁡ θ   o u   acos ⁡ θ

Vamos fazer os ajustes:

∫ x ³ 9 - x ² d x = ∫ x ³ 3 ² - x ² d x

Reparem que temos ali a nossa relação, então:

x = 3 sen ⁡ θ → d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Substituindo tudo

∫ x ³ 3 ² - x ² d x = ∫ 27 sen ³ ⁡ θ 9 - 9 sen ⁡ θ ² 3 cos ⁡ θ d θ

∫ 27 sen ³ ⁡ θ 9 - 9 sen ⁡ θ ² 3 cos ⁡ θ d θ = 243 ∫ sen ³ ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ ² cos ⁡ θ d θ

Ok, agora vamos usar a identidade trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Substituindo:

243 ∫ sen ³ ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ ² cos ⁡ θ d θ = 243 ∫ sen ³ ⁡ θ c o s 2 θ cos ⁡ θ d θ

243 ∫ sen ³ ⁡ θ c o s 2 θ cos ⁡ θ d θ = 243 ∫ sen ³ ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ

Show, chegamos aqui a uma integral trigonométrica.

Passo 3

Continuando, vamos fazer uns ajustes na nossa integral trigonométrica

243 ∫ sen ³ ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ = 243 ∫ sen ² ⁡ θ sen ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ

Vamos usar aqui novamente a mesma identidade trigonométrica do Passo 2:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Vamos fazer aqui uma substituição:

u = c o s θ → d u = - s e n ⁡ ( θ ) d θ

Substituindo:

243 ∫ sen ² ⁡ θ sen ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ = 243 ∫ 1 - c o s 2 θ sen ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ

243 ∫ 1 - c o s 2 θ sen ⁡ θ cos ² ⁡ θ d θ = 243 ∫ - 1 - u ² u ² d θ

Show, agora podemos calcular:

243 ∫ - 1 - u ² u ² d θ = - 243 ∫ 1 - u ² u ² d θ

- 243 ∫ 1 - u 2 u 2 d θ = - 243 u 3 3 - u 4 4

Ok, mas ainda não acabamos.

Passo 4

Precisamos voltar para θ , então:

u = c o s θ

- 243 u 3 3 - u 4 4 = - 243 c o s ⁡ ( θ ) 3 3 - c o s ⁡ ( θ ) 4 4

Mas ainda precisamos também voltar para x :

x = 3 sen ⁡ θ → x 3 = sen ⁡ θ

Sabendo que:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

x 2 9 + c o s 2 θ = 1 → c o s 2 θ = 9 - x 2 9 → c o s θ = 9 - x 2 3

Então:

- 243 cos ⁡ θ 3 3 - cos ⁡ θ 4 4 = - 243 9 - x 2 3 3 3 - 9 - x 2 3 4 4

Resposta

- 243 9 - x 2 3 3 3 - 9 - x 2 3 4 4

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