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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 14c

Calcular as integrais usando o método da substituição trigonométrica

∫ x 3 x 2 + 9 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ x 3 x 2 + 9 d x

Para conseguir resolver essa questão, vamos precisar usar a substituição:

u = x 2 + 9 → d u = x x 2 + 9 d x

d u = x x 2 + 9 d x → d x = x 2 + 9 x d u

Substituindo:

∫ x 3 x 2 + 9 d x = ∫ x 3 x 2 + 9 x 2 + 9 x d u = ∫ x 3 u u x d u = ∫ x ² d u

Passo 2

Ok, chegamos a uma integral bem mais simples né? Mas reparem que temos x nela enquanto estamos derivando em função de u . Vamos ajustar:

∫ x ² d u

u = x 2 + 9 → u 2 - 9 = x ²

Substituindo:

∫ x ² d u = ∫ u 2 - 9 d u

∫ u 2 - 9 d u = u 3 3 - 9 u

Show, mas agora precisamos voltar para x :

u = x 2 + 9

u 3 3 - 9 u = x 2 + 9 3 3 - 9 x 2 + 9 + C

Resposta

∫ x 3 x 2 + 9 d x = x 2 + 9 3 3 - 9 x 2 + 9 + C

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