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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 14d

Calcular as integrais usando o método da substituição trigonométrica

∫ x 3 x 2 + 4 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ x 3 x 2 + 4 d x

Para conseguir resolver essa questão, vamos precisar usar a substituição:

u = x 2 + 4 → d u = x x 2 + 4 d x

d u = x x 2 + 4 d x → d x = x 2 + 4 x d u

Substituindo:

∫ x 3 x 2 + 4 d x = ∫ x 3 u x 2 + 4 x d u = ∫ x 2 u ² d u

Passo 2

Ok, chegamos a uma integral bem mais simples né? Mas reparem que temos x nela enquanto estamos derivando em função de u . Vamos ajustar:

∫ x 2 u ² d u

u = x 2 + 4 → u 2 - 4 = x ²

Substituindo:

∫ x 2 u 2 d u = ∫ u 2 - 4 u 2 d u = ∫ u 4 - 4 u 2 d u

∫ u 4 - 4 u 2 d u = u 5 5 - 4 u 3 3

Show, mas agora precisamos voltar para x :

u = x 2 + 4

u 5 5 - 4 u 3 3 = x 2 + 4 5 5 - 4 x 2 + 4 3 3 + C

Resposta

∫ x 3 x 2 + 4 d x = x 2 + 4 5 5 - 4 x 2 + 4 3 3 + C

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