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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 14a

Calcular as integrais usando o método da substituiç��o trigonométrica

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x

Se tivermos termos desse tipo x 2 - a 2 , uma boa saída é usar a seguinte relação:

x = a   sec ⁡ θ

Show, vamos começar.

Passo 2

Calculando

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x

x 2 - a 2

x = a   sec ⁡ θ

Vamos fazer os ajustes:

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x = ∫ 1 x ² x 2 - 3 ² d x

Reparem que temos ali a nossa relação, então:

x = 3 sec ⁡ θ

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Substituindo tudo

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x = ∫ 1 x ² x 2 - 3 ² d x = ∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 9 s e c ² ( θ ) - 9 ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 9 s e c ² ( θ ) - 9 ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ = ∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 s e c ² ( θ ) - 1 ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

Lembrando que s e c 2 θ - 1 = t a n 2 θ , então:

∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 s e c ² ( θ ) - 1 ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ = ∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 t a n 2 θ ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 t a n 2 θ ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ = ∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 t a n ⁡ ( θ ) ( 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

Show, agora podemos simplificar:

∫ 1 9 s e c ² ( θ ) 3 t a n ⁡ ( θ ) 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 1 9 s e c ( θ ) d θ = 1 9 ∫ 1 s e c ( θ ) d θ

Lembrando que sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ ,   e n t ã o :

1 9 ∫ 1 s e c ( θ ) d θ = 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ = 1 9 s e n θ

Acabamos? Ainda não, temos que voltar para x .

Passo 3

Vimos lá no Passo 1 que:

x = 3 sec ⁡ θ → x 3 = s e c ⁡ θ

x 3 = sec ⁡ θ → x 3 = 1 cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = 3 x

Ok, agora vamos usar a identidade trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ + 9 x 2 = 1 → s e n 2 θ = x 2 - 9 x 2

s e n 2 θ = x 2 - 9 x 2 → s e n θ = x 2 - 9 x

Achamos no Passo2:

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x = 1 9 s e n θ

Então:

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x = x 2 - 9 9 x + C

Resposta

∫ 1 x ² x 2 - 9 d x = x 2 - 9 9 x + C

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