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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFMG – Cálculo I – P2 – 2022.1

Calcule

∫ x 2 - 9 x 3 d x

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

Vamos precisar lembrar de uma propriedade de integrações trigonométricas aqui!!

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos lá.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = 3 sec ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ x 2 - 9 x 3 d x = ∫ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 27 sec 3 ⁡ θ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 9 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Tá lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ ( θ ) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 9 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 9 tan 2 ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 3 tan ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ tan 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 3 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) d θ

Passo 3

Vamos agora usar outra propriedade trigonométrica, que é a seguinte: sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ . Então, substituindo

1 3 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) d θ = 1 3 ⋅ 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 6 θ - 1 12 sin ⁡ 2 θ + c = 1 6 θ - 1 6 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c

Lembra que dissemos que

x = 3 sec ⁡ θ

Então

x 3 = sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Temos que

cos ⁡ θ = 3 x

Também podemos dizer que

θ = sec - 1 ⁡ x 3

Vimos que

x 2 - 9 = 3 tan ⁡ θ

Então

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = x 2 - 9 3

sin ⁡ θ x 3 = x 2 - 9 3

Então podemos encontrar uma expressão para sin ⁡ θ

sin ⁡ θ = x 2 - 9 x

Passo 4

Agora, que encontramos uma epressão para a θ ,     sin ⁡ θ e cos ⁡ θ podemos substituir

1 6 θ - 1 6 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c = 1 6 sec - 1 ⁡ x 3 - 1 6 ⋅ 3 x ⋅ x 2 - 9 x + c = 1 6 sec - 1 ⁡ x 3 - x 2 - 9 2 x 2 + c  

Uffa!! Deu trabalho, mas valeu a pena né?

Te espero na próxima questão!!

Resposta

∫ x 2 - 9 x 3 d x = 1 6 sec - 1 ⁡ x 3 - x 2 - 9 2 x 2 + c  

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