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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Lista de exercícios 10 – UFABC – Técnicas de integração– questão questão 13 item d

Calcule as seguintes integrais:

d) ∫ 3 + 4 x 2   d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Podemos fatorar esse monstrinho par obter uma coisa mais visivelmente bonito, e vermos o que podemos tirar. Veja:

Fatorando o 3:

∫ 3 1 + 4 3 x 2   d x

∫   3     1 + 4 3 x 2   d x

a constate pode sair da integral, logo:

  3   ∫   1 + 4 3 x 2   d x

Veja que cai uma coisa mais parecida com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , e dessa forma podemos resolver essa coisa.

Se isso te ajudou, carinha, vamos resolver essa questão juntos. Nada melhor que um exemplo e vai ver que o resultado sai fácil facil.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Façamos então:

2 x 3 = tan ⁡ θ

De forma que o nosso dx fica:

d x = 3 2   sec 2 ⁡ θ  

Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Onde a derivada da tangente de x é sec 2 ⁡ x .Assim a nossa integral fica:

3 2 ∫ 1 + tan 2 ⁡ θ   3   sec 2 ⁡ θ

3 2 ∫ 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Como demos antes, sabemos que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ .   Ficando ao final:

3 2 ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Temos uma técnica de integração já conhecida para sec n ⁡ θ quando n > 2 . Ela aparece na tabela de técnicas de integração no fim dos livros de cálculos. É útil sempre a usarmos. Isto é:

sec n - 2 ⁡ θ tan ⁡ θ n - 1     + n - 2 n - 1   ∫ sec n - 2 ⁡ d θ

Sendo n = 3 , temos então:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ

Mas tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ e sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ ,   assim sec ⁡ θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ . Portanto:

sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ

Da mesa tabela de integrais, temos a integral para sec ⁡ θ , isto é:

∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Assim temos ao final:

3 2 sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ = 3 2 sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 2 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Lembra que 2 x 3 = tan ⁡ θ ? Assim:

θ = arctan ⁡ 2 x 3

E também:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ = 1 + 4 x 2 3

Logo no final fica essa coisa escrota aqui:

3 2 1 + 4 x 2 3 sin ⁡ arctan ⁡ 2 x 3 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 4 x 2 3 + tan ⁡ arctan ⁡ 2 x 3 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

3 2 1 + 4 x 2 3 sin ⁡ arctan ⁡ 2 x 3 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 4 x 2 3 + tan ⁡ arctan ⁡ 2 x 3 + C

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