Calcule:

a )   ∫ sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( 8 x ) d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para resolver esta questão aqui vamos lembrar de algumas dicas que o professor nos deu em uma das questões anteriores! A seguinte relação:

sin ⁡ ( a ) sin ⁡ ( b ) = 1 2 ( cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) )

Note que podemos identificar que a = x e b = 8 x . Bora usar isso em nossa integral!

Passo 2

Temos que:

∫ sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( 8 x ) d x = 1 2 ∫ ( cos ⁡ - 7 x - cos ⁡ ( 9 x ) ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ ( - 7 x ) d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 9 x ) d x

Agora, vamos lembrar mais umas coisinhas!

Passo 3

De cara, vamos lembrar que a função cosseno é par, e, portanto, cos ⁡ ( - 7 x ) = cos ⁡ ( 7 x ) , e também temos que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = sin ⁡ ( a x ) a + C

Usando isso, já podemos resolver nossa integral! Bora lá!

Passo 4

Temos que:

1 2 ∫ cos ⁡ ( 7 x ) d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 9 x ) d x = 1 14 sin ⁡ ( 7 x ) + 1 18 sin ⁡ ( 9 x ) + C

Belezinha? Essa alternativa foi! Bora para as próximas!

Resposta

∫ sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( 8 x ) d x = 1 14 sin ⁡ ( 7 x ) + 1 18 sin ⁡ ( 9 x ) + C

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