UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2015.2, Questão 1a
Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponta:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral da função e verificar se ela é convergente ou não, quando for o caso (quando a gente se deparar com alguma indeterminação, por exemplo).
Repare que nós temos uma raiz no denominador, que tem a forma . Nesse caso, Isso significa que vamos precisar usar uma substituição trigonométrica pra remover essa raiz e facilitar as continhas. Nesse caso, usamos , assim:
Vamos substituir isso na integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos dar uma olhada na nossa integral:
Podemos separá-la assim:
Colocando as constantes do lado de fora:
Agora vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 3
Vamos começar fazendos as substituições que definimos no passo na integral:
Teremos:
Simplificando:
Usando a identidade , temos:
Mas , então temos:
Resolvendo a integral:
Mas não podemos esquecer de voltar pra nossa variável original. Como , vamos ter:
Passo 4
Agora vamos resolver:
Usando a mesma substituição trigonométrica que usamos antes, vamos obter:
Simpliicando:
Usando a identidade , temos:
Resolvendo a integral:
Mas nós definimos , então temos:
Juntando nossos dois resultados, temos nossa resposta pra integral original:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉