Calcule:

c )   ∫ cos 2 ⁡ ( 4 x ) d x

Passo 1

Bora para mais uma!

Para resolver esta integral vale a pena lembrarmos da seguinte relação trigonométrica! Temos que:

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 x ) )

Que é a forma como usualmente vemos esta expressão! No entanto, ela é o mesmo que o seguinte:

cos 2 ⁡ ( a x ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 a x ) )

Vamos tentar usar isso na nossa integral! Saca só!!

Passo 2

Temos que a integral pode ser reescrita como:

∫ cos 2 ⁡ ( 4 x ) d x = ∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ ( 8 x ) ) d x = 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 8 x ) d x

Já está quase acabando! Aguenta aí!

Passo 3

Se lembrarmos que:

∫ d x = x + C 1

E também que:

∫ cos ⁡ ( 8 x ) d x = 1 8 sin ⁡ ( 8 x ) + C 2

Nós obtemos como resultado final, o seguinte:

1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 8 x ) d x = 1 2 x + 1 16 sin ⁡ ( 8 x ) + C 3

Em que C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . Essa acabou, mas ainda tem mais algumas! Força!!

Resposta

∫ cos 2 ⁡ ( 4 x ) d x = 1 2 x + 1 16 sin ⁡ ( 8 x ) + C 3

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