Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Ver Teoria
Exercício 103123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 6 – Alternativa h)

Calcule:

h )   ∫ x cos 4 ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 1

Última alternativa dessa questão!!! Bora Bora!!

Para resolver esta questão temos que fazer dois processos principais! A primeira coisa é uma mudança de variáveis e depois utilizar algumas identidades trigonométricas! Belezinha?

Passo 2

Bora começar fazendo a substituição u = x 2 e d u = 2 x d x , temos então que:

1 2 ∫ cos 4 ⁡ ( u ) d u

Agora, vamos utilizar as identidades trigonométricas! Beleza?

Passo 3

Temos que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 2 1 + cos ⁡ 2 u           ( 1 )

Então, a nossa integral fica da seguinte maneira:

1 4 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 u ) ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) d u

Vamos expandir os termos na integral! Beleza?

Passo 4

Temos:

1 4 ∫ d u + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 2 u ) d u + 1 4 ∫ cos 2 ⁡ ( 2 u ) d u

Podemos usar a equação (1) mais uma vez e obter:

1 4 ∫ d u + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 2 u ) d u + 1 8 ∫ d u + 1 8 ∫ cos ⁡ ( 4 u ) d u

Só precisamos relembrar estas integrais agora! Bora lá!

Passo 5

As integrais são da forma:

∫ d x = x + C

E também:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = sin ⁡ ( a x ) a + C

E podemos finalmente resolver nossa integral!

Passo 6

Nós obtemos:

3 8 u + 1 4 sin ⁡ ( 2 u ) + 1 32 sin ⁡ ( 4 u ) + C

Vamos apenas voltar para a variável original! (Achou que eu tinha esquecido neh?) Temos que u = x 2 , portanto:

3 8 x 2 + 1 4 sin ⁡ ( 2 x 2 ) + 1 32 sin ⁡ ( 4 x 2 ) + C

Acabou!! A questão já era! Te vejo na próxima! Tchauzinho!!

Resposta

∫ x cos 4 ⁡ ( x 2 ) d x = 3 8 x 2 + 1 4 sin ⁡ ( 2 x 2 ) + 1 32 sin ⁡ ( 4 x 2 ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x