Calcule:

g )   ∫ 0 π cos ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Vamos lá para mais uma!

Para esta questão vai ser interessante utilizar a seguinte identidade:

cos ⁡ a cos ⁡ ( b ) = 1 2 cos ⁡ ( a + b ) + cos ⁡ ( a - b )         ( 1 )

Vamos reescrever um pouquinho a integral! Beleza?

Passo 2

Temos que:

∫ 0 π cos ⁡ x cos ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x = →

→ = 1 2 ∫ 0 π ( cos ⁡ 3 x + cos ⁡ - 2 x ) cos ⁡ 2 x d x = →

→ = 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x + 1 2 ∫ 0 π cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Aqui eu usei a equação (1) e que cos ⁡ ( - 2 x ) = cos ⁡ ( 2 x ) . Ainda temos que expandir isso mais um pouquinho! Bora lá!

Passo 3

Usando a equação (1) mais uma vez temos:

1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 3 x cos ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 x d x = →

→ = 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ 5 x + cos ⁡ x d x + 1 4 ∫ 0 π ( 1 + cos ⁡ ( 4 x ) ) d x = →

→ = 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ ( 5 x ) d x + 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ ( x ) d x + 1 4 ∫ 0 π d x + 1 4 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x = →

Eu usei aqui também que cos 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 2 1 + cos ⁡ ( 4 x ) . Agora precisamos lembrar como se calcula a integral de cosseno! Bora lá!

Passo 4

Temos que:

∫ a b d x = x ​ a b = b - a

E também que:

∫ a b cos ⁡ ( c x ) d x = sin ⁡ ( c x ) c ​ a b = 1 c ( sin ⁡ c b - sin ⁡ ( c a ) )

Podemos então resolver as integrais, como:

1 20 sin ⁡ 5 x ​ 0 π + 1 4 sin ⁡ x ​ 0 π + 1 4 x ​ 0 π + 1 16 sin ⁡ 4 x ​ 0 π = →

→ = 0 + 0 + π 4 + 0 = π 4

Já que temos que sin ⁡ ( n π ) = 0 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = π 4

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