UFJF. Calculo 2. Lista 2022.2. Questão 1h.
Calcule as integrais:
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão foi dada apenas uma integral de funções trigonométricas e foi pedido para calcula-la.
A integral em questão é dada por
Nem um pouco trivial, não é?
Mas e aí! Como podemos fazer esse cálculo? 🤔
Existe uma técnica para calcular integrais que chamamos de integração por substituição.
Esse método consiste em substituir um elemento da função de integração por uma variável de modo que sua derivada esteja na função de integração também, assim facilitar os cálculos para obter a integral.
Entendeu? Bora ver como fazemos isso! 😁
Passo 2
Nossa função de integração é dada por e sabemos que , não é?
Podemos fatorar como correto?
Fazendo essa substituição de , temos
Assim, nossa integral fica como
Se considerarmos como , sabemos que a derivada de é igual a , ou seja
Percebeu?
Fazendo essas substituições...
Agora ta mais fácil? 😉
Passo 3
Simplificando a função de integração...
Assim nossa integral finalmente pode ser calculada como
Aplicando o método de integração polinomial, temos
Não podemos deixar o resultado em função de , então vamos voltar atrás e substituir por de volta!
Assim encontramos a integral que inicialmente era muito difícil. O que achou?
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
