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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.9 – 1a

Calcule as integrais abaixo:

∫ 1 - x 2 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos precisar aqui fazer uma substituição para calcular essa integral.

Vamos chamar de

x = s e n θ → d x = c o s θ d θ

E sabemos que 1 - x 2 = c o s θ pelas propriedades trigonométricas.

Passo 2

Fazendo a substituição na integral, temos que:

∫ 1 - x 2 d x = ∫ c o s θ × c o s θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabe-se que c o s 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Logo,

cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s 2 θ 2

Portanto, a integral fica:

∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 ∫ 1 + c o s 2 θ d θ

1 2 ∫ 1 + c o s 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 2 s e n 2 θ + C

Podemos então encontrar que

1 2 θ + 1 2 s e n 2 θ = 1 2 a r c s e n x + 1 2 x 1 - x 2 + C

Resposta

1 2 a r c s e n x + 1 2 x 1 - x 2 + C

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