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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.9 – 1b

Calcule as integrais abaixo:

∫ 1 + x 2 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos precisar aqui fazer uma substituição para calcular essa integral.

Vamos chamar de

x = t a n θ → d x = sec 2 ⁡ θ   d θ

Passo 2

Fazendo a substituição na integral, temos que:

∫ 1 + x 2 d x = ∫ 1 + t a n 2 θ sec 2 ⁡ θ d θ

Sabe-se que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Logo,

∫ 1 + t a n 2 θ ⏟ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ s e c θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Portanto, a integral fica:

∫ sec 3 ⁡ θ = 1 2   s e c θ   t a n θ + 1 2 l n ⁡ | s e c θ + tan ⁡ θ |

Resposta

1 2   ( s e c θ   t a n θ + l n ⁡ | s e c θ + tan ⁡ θ |   )  

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