UnB; Cálculo 1; Lista 16; Exercício 1e
1) Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
(e)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
O enunciado dessa questão já nos ajuda bastante! Ele afirma que temos que usar substituição trigonométrica. Então o que nos resta agora é determinar qual substituição trigonométrica vai se encaixar melhor na nossa situação aqui!
Meu deus, mas como fazemos isso mesmo?
Calma! Pra usarmos o método da substituição trigonométrica, é importante que a nossa função possua uma raiz com essa carinha aqui: .
Olha só que legal, a nossa raiz presente ali na integral tem essa carinha!
Mas temos um pequeno probleminha. Não podemos usar substituição trigonométrica diretamente nessa integral pois temos uma expressão em função de sendo dividida por outra também em função de ! Como arrumamos isso então?
Pra gente poder aplicar a substituição trigonométrica, vamos tirar aquele do denominador fazendo primeiramente uma integração por partes dessa integral! Bora lá então!
Passo 2
Esse método tem uma regrinha básica que ajuda bastante a gente:
Isso parece ser meio complicadinho, mas eu prometo pra você que é bem tranquilo!
Então agora precisamos determinar quem serão todas essas variáveis presentes ali nessa formulinha.
Vamos assumir e automaticamente será o resto que sobrou. Portanto:
Agora vamos encontrar a derivada de que será :
E também como temos , podemos encontrar o valor de a partir da integral de . Então, vamos ter que:
Pronto! Agora já temos todas as nossas variáveis () da nossa fórmula de integração por partes!
Vamos escrevê-la aqui então:
Simplificando:
Olha só a nova integral que apareceu ali! Agora sim podemos usar o método da substituição trigonométrica para resolver o probleminha!
Bora lá então!
Passo 3
Calculando a integral ali do passo 2 por substituição trigonométrica, como temos uma expressão com a carinha: , a partir das regrinhas desse método, podemos afirmar que: .
Como temos , temos que nosso é igual a 1! Portanto:
Então, sua derivada será:
Substituindo esses valores na integral, teremos que:
A partir das identidades trigonométricas, temos que . Então, substituindo na integral, temos:
Como essa já é uma integral conhecida, temos que:
Como já sabemos que . Vamos agora encontrar .
Como e , podemos fazer a seguinte relação:
Substituindo os valores, teremos então que:
Substituindo o resultado da integral ali na equação do passo 2, temos então que:
Então nosso resultado final é:
Lembrando que esse é a nossa constante de integração!
Ufa!! Conseguimos!!!!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?