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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 52

Calcule as integrais indefinidas abaixo

52 .   ∫ a 2 + b 2 x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ a 2 + b 2 x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos uma raiz com soma de quadrados dentro vamos usar a técnica de substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma substituição em que possamos usar alguma das identidades trigonométricas

Beleza?

E no nosso caso vamos usar

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a substituição x b = a tan ⁡ θ , temos que

b   d x = a sec 2 ⁡ θ d θ

E também

x 2 b 2 = a 2 tan 2 ⁡ θ

Beleza?

Agora é só jogar na integral

∫ a 2 + x 2 b 2 d x = ∫ a 2 + a 2 tan 2 ⁡ θ . a b sec 2 ⁡ θ d θ

Podemos arrumar um pouco

a b ∫ a 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ = a 2 b ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = a 2 b ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos relembrar de uma integral que já calculamos em outras vezes! A integral da secante ao cubo!

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

E agora? Agora é só substituir no nosso caso! Temos

a 2 b ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Então

a 2 b 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

E nossa substituição? Precisamos retornar para x ! Temos que

x b a = tan ⁡ θ

E assim

c a t .   o p o s t o = x b                   c a t . a d j a c e n t e = a

Aí por Pitágoras

h i p 2 = x 2 b 2 + a 2 → h i p = x 2 b 2 + a 2

e a secante fica assim

sec ⁡ θ = x 2 b 2 + a 2 a

Aí é só substituir no nosso resultado!

= a 2 b 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

= a 2 b 1 2 x 2 b 2 + a 2 a .   x b a + 1 2 ln ⁡ x b a + x 2 b 2 + a 2 a

Simplificando

= x 2 x 2 b 2 + a 2 + 1 2 ln ⁡ x b a + x 2 b 2 + a 2 a + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 x 2 b 2 + a 2 + 1 2 ln ⁡ x b a + x 2 b 2 + a 2 a + C

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