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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 54

Calcule as integrais indefinidas abaixo

54 .   ∫ x 2 - 2 x + 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 2 - 2 x + 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos uma raiz com soma de quadrados dentro vamos usar a técnica de substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma substituição em que possamos usar alguma das identidades trigonométricas

Beleza?

E no nosso caso vamos usar

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos completar quadrado dentro da raiz

x 2 - 2 x + 2 = x - 1 2 + 1

E fazer uma pequena troca de variáveis

u = x - 1

d u = d x

Aí nossa integral fica

∫ x 2 - 2 x + 2 d x = ∫ u 2 + 1 d u

Tranquilo?

Usando a substituição u = tan ⁡ θ , temos que

  d u = sec 2 ⁡ θ d θ

E também

u 2 = tan 2 ⁡ θ

Beleza?

Agora é só jogar na integral

∫ u 2 + 1 d u = ∫ 1 + 1 tan 2 ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ

Podemos arrumar um pouco

∫ ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos relembrar de uma integral que já calculamos em outras vezes! A integral da secante ao cubo!

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

E agora? Agora é só substituir no nosso caso!

Então

= 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

E nossa substituição? Precisamos retornar para x ! Temos que

x - 1 = u = tan ⁡ θ

E assim

c a t .   o p o s t o = x - 1                   c a t . a d j a c e n t e = 1

Aí por Pitágoras

h i p 2 = x - 1 2 + 1 2 → h i p = x - 1 2 + 1 2

e a secante fica assim

sec ⁡ θ = x - 1 2 + 1 2 1

Aí é só substituir no nosso resultado!

= 1 2 x - 1 2 + 1 2 . ( x - 1 ) + 1 2 ln ⁡ x - 1 + x - 1 2 + 1 2

Simplificando

= ( x - 1 ) 2 x - 1 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 + x - 1 2 + 1 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( x - 1 ) 2 x - 1 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 + x - 1 2 + 1 + C

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