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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 56

Calcule as integrais indefinidas abaixo

56 .   ∫ 1 1 + x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 1 + x 2 1 - x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas vamos usar a técnica de integração por substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma mudança de variáveis que torne nosso integrando mais simpático

Beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = 1 t assim d x =   - 1 / t 2 d t

∫ 1 1 + x 2 1 - x 2 d x

= ∫ - 1 t 2 1 + 1 t 2 1 - 1 t 2 d t = ∫ - 1 t 2 t 2 + 1 t 2 t 2 - 1 t   d t

Simplificando temos

= ∫ - t d t t 2 + 1 t 2 - 1

Beleza?

Agora vamos fazer uma segunda mudança de variáveis

t 2 - 1 = y 2

Assim

2 t   d t = 2 y   d y

E nossa integral fica

∫ - y d y y 2 + 2 y 2 = - ∫ d y y 2 + 2

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral! É a integral do arco tangente

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ x a

No nosso caso a = 2 e temos

= - ∫ d y y 2 + 2 = - 1 2 arctan ⁡ y 2 + C

Beleza? Mas precisamos retornar para nossa variável original!

y = t 2 - 1

E x = 1 t , aí substituindo e simplificando temos

= - 1 2 arctan ⁡ 1 - x 2 2 x   + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 1 2 arctan ⁡ 1 - x 2 2 x   + C

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