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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 72

Calcule as integrais indefinidas abaixo

72 .   ∫ x 2 2 x - x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 2 2 x - x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos uma raiz com soma de quadrados dentro vamos usar a técnica de substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma substituição em que possamos usar alguma das identidades trigonométricas

Beleza?

E no nosso caso vamos usar

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos completar quadrado dentro da raiz

x 2 2 x - x 2 = x 2 1 - x - 1 2

E fazer uma pequena troca de variáveis

u = x - 1 = sin ⁡ θ

d u = d x = cos ⁡ θ d θ

Aí nossa integral fica

∫ sin ⁡ θ + 1 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ sin 2 ⁡ θ + 2 s i n θ + 1 d θ

Tranquilo?

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 , temos que nossa integral fica assim

∫ 3 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 2 sin ⁡ θ d θ

Beleza?

Agora é só integrar

3 2 θ - 1 4 sin ⁡ 2 θ - 2 cos ⁡ θ

Podemos arrumar um pouco, sabendo que sin ⁡ 2 θ = 2   s i n θ cos ⁡ θ

= 3 2 θ - 1 2 sin ⁡ θ c o s θ - 2 cos ⁡ θ + C

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

E agora? Agora é só retornar para a variável original!

x - 1 = s e n θ = c a t .   o p o h i p

Aí temos de Pitágoras que

c a t .   a d j = h i p 2 - c a t . o p 2 = 1 - x - 1 2

Aí

cos ⁡ θ = 1 - x - 1 2

θ = arcsin ⁡ ( x - 1 )

Então

= 3 2 θ - 1 2 sin ⁡ θ c o s θ - 2 cos ⁡ θ + C

Passando para x

3 2 arcsin ⁡ ( x - 1 ) - 1 2 x - 1 1 - x - 1 2 - 2 1 - x - 1 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

3 2 arcsin ⁡ ( x - 1 ) - 1 2 x - 1 1 - x - 1 2 - 2 1 - x - 1 2 + C

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