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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UnB; Cálculo 1; Lista Semana 17; “Reviso - Frações Parciais; Comprimento de arco e área”; Exercício 20a

20) Calcule as integrais seguintes:

(a) ∫ 3 - 2 x - x 2   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício onde precisaremos ter na ponta da língua (ou pelo menos na mão para consultar) as identidades trigonométricas. Além disso, precisaremos realizar várias substituições, mas vamos nessa!

Já vamos começar com uma alteração na função. A intenção é encontrar algum quadrado perfeito em 3 - 2 x - x 2 para que simplifique nossa função. Vamos tentar multiplicando - 1 em tudo:

3 - 2 x - x 2 = - ( x 2 + 2 x - 3 )

Para colocarmos x 2 + 2 x em um quadrado perfeito, o termo independente precisa ser 1 , então:

- ( x 2 + 2 x + 1 - 4 ) = - x 2 + 2 x + 1 + 4 = - x + 1 2 + 4

Muito bacana! Nossa integral agora é:

∫ - x + 1 2 + 4 d x

Agora, aplicaremos a nossa primeira substituição. Chamaremos u = x + 1 e d u = d x :

∫ - u 2 + 4   d u

Passo 2

Com certeza você está se perguntando como essa substituição nos ajudou. Na verdade, ela não resolve a integral diretamente, mas possibilita uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Vamos chamar u = 2 sin ⁡ t . Sendo assim, d u = 2 cos ⁡ t   d t

Aplicando essa nova substituição:

∫ - 2 sin ⁡ t 2 + 4   ( 2 cos ⁡ t )   d t

Essa nova integral nos permite fazer várias simplificações:

∫ - 4 sin 2 ⁡ t + 4   ( 2 cos ⁡ t )   d t

→ ∫ 4 - 4 sin 2 ⁡ t   ( 2 cos ⁡ t )   d t

→ ∫ 4 ( 1 - sin 2 ⁡ t )   ( 2 cos ⁡ t )   d t

Aqui você já deve ter reparado que há outra identidade trigonométrica né? Exato, em 1 - sin 2 ⁡ t .

∫ 4 ( cos 2 ⁡ t )   ( 2 cos ⁡ t )   d t

→ ∫ 2 cos ⁡ t 2   ( 2 cos ⁡ t )   d t

→ ∫ ( 2 cos ⁡ t )   ( 2 cos ⁡ t )   d t

→ ∫ 4 cos 2 ⁡ t   d t

→ 4 ∫ cos 2 ⁡ t   d t

Passo 3

Olha só! Já calculamos 70% da integral. Acredite, já estamos chegando no final.

Para variar, temos outra identidade trigonométrica para aplicar:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Então vamos nessa:

4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

Como 1 2 é constante em relação a t , podemos retirar da integral:

4 * 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t d t

Nossa nova integral possui uma soma, então podemos dividir:

2 ∫ 1 d t + ∫ cos ⁡ 2 t   d t

Passo 4

Para a primeira nova integral:

∫ 1 d t = t + C

Já para a segunda nova integral:

∫ cos ⁡ 2 t   d t

Essa podemos calcular por substituição:

Seja w = 2 t , então d w = 2   d t e d t = 1 2 d w .

Aplicando:

∫ cos ⁡ w 2 d w = 1 2 ∫ cos ⁡ w = 1 2 sin ⁡ w + C

Retornando a variável original:

1 2 sin ⁡ 2 t + C

Perfeito! Calculamos tudo...

Vamos juntar?

2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t = 2 t + sin ⁡ 2 t + C

Uhuuulll! Acabou a integração!

Agora a gente tem que desfazer todas essas mil substituições que a gente fez, pra voltar pra variável original!

Passo 5

Lembrando que fizemos lá em cima a seguinte substituição:

u = 2 sin ⁡ t

Isolando t :

t = arcsin ⁡ u 2

Portanto:

2 arcsin ⁡ u 2 + sin ⁡ 2 arcsin ⁡ u 2 + C

E como chamamos lá em cima u = x + 1 :

2 arcsin ⁡ x + 1 2 + sin ⁡ 2 arcsin ⁡ x + 1 2 + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

2 arcsin ⁡ x + 1 2 + sin ⁡ 2 arcsin ⁡ x + 1 2 + C

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