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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UnB; Cálculo 1; Lista 17 - Reviso - Frações parciais; Comprimento de arco e área; Exercício 20c

20) Calcule as integrais seguintes:

c) ∫ x 2 - 2 x + 2   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Antes de sairmos resolvendo essa integralzinha aqui, você já parou pra pensar em que método vamos usar pra fazer isso?

Nesse caso aqui, antes de determinarmos isso, vamos arrumar aquilo que está dentro da raiz, fazendo surgir um quadrado perfeito ali dentro. Tá, mas como fazer isso?

Vamos começar usando a forma a x 2 + b x + c para encontrar os valores de a ,   b e c da nossa função x 2 + 2 x + 2 :

a = 1 ,     b = - 2 ,     c = 2

Agora vamos considerar a expressão algébrica de uma função quadrática: a x + d 2 + e , onde d = b 2 a e e = c - b 2 4 a .

d = - 2 2 * 1 = - 1

e = 2 - - 2 2 4 + 1 = 1

Substituindo os valores de d   e e na expressão algébrica da função quadrática:

x + 1 2 + 1

Reescrevendo nossa integral:

∫ x + 1 2 + 1 d x

Prontinho! Agora vamos trabalhar em cima dessa integralzinha!

Pessoal, sempre que vocês quiserem transformar uma expressão iguala a do enunciado (mais complicadinha) em um quadrado perfeito, basta seguirem o que foi feito aqui! Então já anota essa dica aí no seu caderninho!

Passo 2

Então, a partir da integral encontrada ali no passo 1, vemos que ela pode ser resolvida por substituição!

Vamos adotar então u = x - 1 e d u = d x . Reescrevendo usando esses termos, vamos ter que:

∫ u 2 + 1   d u

Agora, para resolvermos a integral acima, vamos precisar utilizar substituição trigonométrica! Então, vamos adotar u = tan ⁡ θ e d u = sec 2 ⁡ θ   d θ . Substituindo, temos que:

∫ tan 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ   d θ

Nós sabemos das identidades trigonométricas que tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ . Então:

∫ sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ

Para resolver a integral acima, precisamos utilizar a integração por partes: ∫ u d v = u v - ∫ v d u , onde u = sec ⁡ θ e d v = sec 2 ⁡ θ . Então:

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ∫ tan ⁡ θ   sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

Usando a identidade trigonométrica tan 2 ⁡ ( θ ) = - 1 + sec 2 ⁡ ( θ ) , reescreva na expressão acima:

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ∫ - 1 + sec 2 ⁡ ( θ ) sec ⁡ θ   d θ

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ∫ - sec ⁡ θ + sec 3 ⁡ ( θ )   d θ

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ∫ - sec ⁡ θ d θ ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ             ( I )

A integral conhecida (geralmente vem tabelada nos livros de cálculos), ∫ sec ⁡ ( θ )   d θ é:

- ∫ sec ⁡ θ   d θ = - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Então, substituindo em ( I ) :

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) - ( ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C - ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ           ( I I )

Resolvendo agora do mesmo jeito para ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ , iremos ver que:

∫ sec 3 ⁡ θ   d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C 2

Então, substituindo esses valores em ( I I ) vamos ter que:

sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C 2 + C

Simplificando, vamos ter que:

1 2   sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Passo 3

Agora vamos substituir todas as ocorrências da variável θ por arctan ⁡ ( u ) :

1 2   sec ⁡ arctan ⁡ ( u ) tan ⁡ arctan ⁡ ( u ) + ln ⁡ ( sec ⁡ arctan ⁡ ( u ) + tan ⁡ arctan ⁡ ( u ) + C

Agora, vamos substituir todas as ocorrências da variável u por x - 1 :

1 2   sec ⁡ arctan ⁡ ( x - 1 ) tan ⁡ arctan ⁡ ( x - 1 ) + ln ⁡ ( sec ⁡ arctan ⁡ ( x - 1 ) + tan ⁡ arctan ⁡ ( x - 1 ) + C

Passo 4

Por fim, vamos simplificar a expressão encontrada no passo anterior e encontrar nossa resposta!

Mas antes, lembre-se que:

tan ⁡ arctan ⁡ x - 1 = x - 1

sec ⁡ ( arctan ⁡ x - 1 ) = x 2 - 2 x + 2

Então, vamos ter que:

1 2   x 2 - 2 x + 2 x - x 2 - 2 x + 2 + ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + x - 1 + C

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 2   x 2 - 2 x + 2 x - x 2 - 2 x + 2 + ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + x - 1 + C

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