UnB; Cálculo 1; Lista 17 - Reviso - Frações parciais; Comprimento de arco e área; Exercício 20f
20) Calcule as integrais seguintes:
f)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Antes de sairmos resolvendo essa integralzinha aqui, você já parou pra pensar em que método vamos usar pra fazer isso?
Nesse caso aqui, podemos começar resolvendo por substituição . Tá, mas como vamos fazer isso?
Antes de tudo, precisamos reorganizar o que está dentro da raiz, completando os quadrados, de modo que a gente fiquei somente com uma expressão elevada ao quadrado, e uma constante.
Vamos começar usando a forma para encontrar os valores de e da nossa função :
Agora vamos considerar a expressão algébrica de uma função quadrática: , onde e .
Substituindo os valores de e na expressão algébrica da função quadrática:
Reescrevendo nossa integral:
Prontinho! Agora vamos trabalhar em cima dessa integralzinha!
Pessoal, sempre que vocês quiserem transformar uma expressão iguala a do enunciado (mais complicadinha) em um quadrado perfeito, basta seguirem o que foi feito aqui! Então já anota essa dica aí no seu caderninho!
Passo 2
Então, a partir da integral encontrada ali no passo 1, vemos que ela pode ser resolvida por substituição!
Vamos adotar então e . Reescrevendo usando esses termos, vamos ter que:
Podemos então reescrever como :
Como os dois termos são quadrados perfeitos, podemos fatorá-los:
Como 1/2 é constante em relação a podemos move-la para fora da integral
Tá, cheguei numa expressão simplificada, e agora o que faço com ela?
Para conseguirmos resolver essa integral acima, o método da substituição trigonométrica vai salvar a nossa vida! Mas como eu sei que esse método é o adequado pra essa questão?
Geralmente, nós vamos usar esse tipo de resolução quando tivermos uma função a ser integrada que tenha essa carinha aqui:
Então, pra nossa função a ser integrada, dada no enunciado, temos o seguinte:
Certo. Mas agora o que eu faço com essa informação? Como eu aplico substituição trigonométrica aqui?
Existem umas regrinhas pra cada caso citado ali nas equações em . Então, pro caso da nossa função , a regra utilizada é a seguinte:
Bora lá trabalhar com isso então!
Passo 3
Como nós já identificamos qual é o nosso valor de , vamos substituir nosso a partir da regrinha ali do passo 2:
Agora, precisamos achar para que a função fique todinha em função de .
Pra isso, basta derivarmos a expressão de que utilizamos ali em cima. Então, vamos ter que é igual a:
Passo 4
Agora podemos reescrever a função dada no enunciado, substituindo os valores de e encontrados nos passos 2 e 3:
Expressão feia, né? Mas, calma! Vamos simplificar ela e deixar algo mais bonitinho, fácil e calculável, rsrs!
Olha que legal! Apareceu uma identidade trigonométrica fundamental ali dentro da raiz! Vamos ter então, que .
Como 1/2 é constante, podemos tirar ele da integral acima:
Como já sabemos da identidade trigonométrica que relaciona temos que:
Passo 5
Agora que temos uma integral mais simples, vamos resolvê-la do jeitinho que ela está no passo 4:
A integral conhecida (geralmente vem tabelada nos livros de cálculos), é:
Então substituindo o valor encontrado e fatorizando temos que:
Resolvendo por substituição, temos que , onde e
Então, substituindo em , temos que:
Como já falado, podemos substituir por identidade trigonométrica:
Como já sabemos a integral , temos que:
Reordenando os termos e simplificando temos que:
Resolvendo agora do mesmo jeito para , iremos ver que:
Então, substituindo esses valores em vamos ter que:
Simplificando:
Agora vamos substituir todas as variáveis por :
Agora, vamos substituir todas as variáveis por :
Então, temos como resultado final:
Ufa!! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?