Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Ver Teoria
Exercício 163123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 11 – Alternativa b)

Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

b )   ∫ 1 x 2 9 - x 2 d x

Passo 1

Oiiie, tudo certinho? Bora que bora?

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Nesta questão temos o seguinte caso:

a 2 - x 2

Em que a = 3 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

x = a sin ⁡ ( θ ) = 3 sin ⁡ ( θ )         e           d x = 3 cos ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 2

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

∫ 1 x 2 9 - x 2 d x = ∫ 3 cos ⁡ ( θ ) 9 sin 2 ⁡ ( θ ) 9 - 9 sin 2 ⁡ ( θ ) d θ

Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar que:

sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1       →       cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - sin 2 ⁡ ( θ )

Ou seja,

1 3 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 9 ( 1 - sin 2 ⁡ ( θ ) ) d θ = 1 9 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = →

→ = 1 9 ∫ cos ⁡ ( θ ) sin 2 ( θ ) cos ⁡ ( θ ) d θ = 1 9 ∫ csc 2 ⁡ ( θ ) d θ

Em que usei que csc ⁡ ( θ ) = 1 / sin ⁡ ( θ ) . Para resolver esta integral temos um pequeno truque! Segue comigo!

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição u = cotan ⁡ ( θ ) = cos ⁡ θ / sin ⁡ θ   . Em que podemos obter nosso d u como:

d u = - sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = - csc 2 ⁡ θ

Ou seja, nossa integral fica da forma:

1 9 ∫ csc 2 ⁡ ( θ ) d θ = 1 9 ∫ - d u = - 1 9 u + C

Voltando para a variável θ , temos:

1 9 ∫ csc 2 ⁡ ( θ ) d θ = - 1 9 cotan ⁡ θ + C

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 5

Temos que:

x = 3 sin  ⁡ ( θ ) → sin ⁡ ( θ ) = x 3 = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:

9 = x 2 + c 2 → c = 9 - x 2

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 6

Desta forma, temos que:

cotan ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e c a t e t o   o p o s t o = 9 - x 2 x

Maravilha! Nossa resposta final é então:

∫ 1 x 2 9 - x 2 d x = - 9 - x 2 9 x + C

Feito! Bora para a próxima hehehehe! Até daqui a pouco!

Resposta

∫ 1 x 2 9 - x 2 d x = - 9 - x 2 9 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x