UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 11 – Alternativa f)
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
Passo 1
Vamos que vamos que essa é a última alternativa!! Força que vai dar bom!
Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Para identificar qual é o nosso caso, vamos primeiro reescrever um pouco nossa integral! Temos:
Em que completei quadrado subtraindo e somando . Agora, vamos fazer uma pequena mudança de variável da forma e , portanto:
Agora conseguimos identificar qual é o nosso caso! Bora lá!
Passo 2
Podemos identificar o nosso caso como o seguinte:
Em que . Para esta situação é conveniente usar a substituição:
Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!
Passo 3
Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:
Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!
Passo 4
Vamos lembrar que:
Ou seja,
Em que usei que . Para resolver esta integral temos um pequeno truque! Segue comigo!
Passo 5
Se lembrarmos que:
Temos que:
Isso é bem legal porque agora podemos fazer a seguinte substituição:
De forma que nossa integral fica da forma:
Identificando nossas primitivas temos que:
Voltando para a variável , temos:
Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!
Passo 6
Temos que:
E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:
E nosso triângulo retângulo tem a forma:
Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!
Passo 7
Desta forma, temos que:
Lembrando que:
Temos que:
Maravilha! Nossa resposta final é então:
A questão foi isso!! Boa sorte com estudos! Tchauzinho heheheh!
