UFJF – Cálculo 2 – Lista, 2022.2 – 1c
Calcule as integrais:
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral:
Vamos pensar em como resolvê-la. Nós temos a função cotangente elevada à quarta potência e uma função cossecante também elevada à quarta. Qual a técnica que a gente pode usar pra facilitar nossa vida nesse caso?
Vamos pensar na relação que existe entre essas funções. A gente sabe que a derivada é:
Então, a gente pode tentar fazer aparecer uma na integral pra usar uma substituição . Como assim? Vamos ver como fica!
Passo 2
A nossa integral é:
Mas nós podemos escrever como , certo? Fica assim:
E aí, apareceu a que a gente queria pra fazer a substituição. Mas ela aparece duas vezes, então vamos tentar transforma-la em outra função equivalente.
Nós sabemos que é uma identidade trigonométrica. Substituindo ela na integral, temos:
Passo 3
Agora sim a gente pode chamar:
E derivando:
Substituindo na integral:
Jogando o sinal para fora da integral:
Agora ficou legal de integrar, né? Mas antes, vamos multiplicar cada termo ali dentro:
Beleza, agora integrando:
Onde é uma constante de integração, que a gente sempre adiciona quando calcula uma integral indefinida (sem limites de integração).
Certo, agora só voltarmos pra nossa variável original, que é o . Então, vamos substituir no resultado agora:
Que também pode ser escrito como:
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉