Calcule a integral

∫ 0 π 2 cos ⁡ t 1 + sin 2 ⁡ t d t

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro dizer que

u = sin ⁡ t

Diferenciando, temos que

d u = cos ⁡ t d t

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

u i n f e r i o r = sin ⁡ 0 = 0

u s u p e r i o r = sin ⁡ π 2 = 1

∫ 0 π 2 cos ⁡ t 1 + sin 2 ⁡ t d t = ∫ 0 1 1 1 + u 2 d u

Passo 2

Agora, vamos fazer a substituição trigonométrica, pra isso, vamos dizer que

u = tan ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Então, vamos calcular os novos limites de integração e substituir na integral

θ i n f e r i o r : 0 = tan ⁡ θ ∴   θ = 0

θ s u p e r i o r : 1 = tan ⁡ θ ∴   θ = π / 4

∫ 0 1 1 1 + u 2 d u = ∫ 0 π 4 1 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 0 π 4 1 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 1 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Esta integral é tabelada e temos que

∫ 0 π 4 sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 0 π 4 = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

∫ 0 π 2 cos ⁡ t 1 + sin 2 ⁡ t d t = ln ⁡ 2 + 1

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