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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFRJ, lista 19 – AVA – Exercício 1

Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.

∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ

Passo 1

Essas integrais com substituição trigonométricas são um pouco confusas, mas vamos fazer passo a passo com calma que você vai ver que com a prática é possível não se descabelar por isso (ou não rs).

O problema nos dá o seguinte

x = 3 sin ⁡ θ

Então, diferenciando

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Temos que

9 - x 2 = 9 - 9 sin 2 ⁡ θ = 9 ( 1 - sin 2 ⁡ ( θ ) = 9 cos 2 ⁡ θ = 3 c o s ⁡ ( θ )

Podemos concluir duas coisas:

  1. sin ⁡ θ = x / 3
  2. cos ⁡ θ = 9 - x 2 / 3

Então, podemos construir o triângulo retângulo associado a esta transformação

Passo 2

Agora, a gente precisa calcular a integral, pra facilitar, vamos fazer a substituição dada

∫ x 3 9 - x 2 d x = ∫ 3 sin ⁡ θ 3 ⋅ 3 cos ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ d θ = 3 5 ∫ sin 3 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ = 3 5 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) s i n ⁡ ( θ ) d θ

Voce precisa se lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: cos 2 ⁡ ( θ ) + sin 2 ⁡ ( θ ) = 1 . Aí a gente substitui na integral

3 5 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) s i n ⁡ ( θ ) d θ = 3 5 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ( θ ) s i n ⁡ ( θ ) d θ

Agora, a gente pode resolver pelo método da substituição

Seja u = c o s ⁡ ( θ ) , temos que d u = - sin ⁡ θ d θ . Então, substituindo

3 5 ∫ 1 - u 2 u 2 - d u = 3 5 ∫ - u 2 + u 4 d u = 3 5 1 5 u 5 - 1 3 u 3

Substituindo u

3 5 1 5 u 5 - 1 3 u 3 + c = 3 5 1 5 cos 5 ⁡ ( θ ) - 1 3 cos 3 ⁡ ( θ ) + c

∫ x 3 9 - x 2 d x = 3 5 1 5 cos 5 ⁡ ( θ ) - 1 3 cos 3 ⁡ ( θ ) + c

Passo 3

Lembra la no começo quando dissemos que cos ⁡ θ = 9 - x 2 / 3 ?! Agora é só a gente substituir

∫ x 3 9 - x 2 d x = 3 5 1 5 cos 5 ⁡ ( θ ) - 1 3 cos 3 ⁡ ( θ ) + c = 3 5 1 5 9 - x 2 3 5 - 1 3   9 - x 2 3 3 + c = 3 5 1 5 9 - x 2 5 2 3 5 - 1 3 9 - x 2 3 2 3 3 + c = 1 5 9 - x 2 5 2 - 3 9 - x 2 3 2 + c

Resposta

∫ x 3 9 - x 2 d x = 1 5 9 - x 2 5 2 - 3 9 - x 2 3 2 + c

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