P-REC – Cálculo 1 – USP – 2022 – Questão 4b
Calcule as primitivas abaixo:
b)
Passo 1
Pra fechar essa questão sobre integrais, temos aí uma que é a cara da integral da substituição trigonométrica...
Nesses casos, devemos chamar
E assim, ficamos com:
Com isso, podemos substituir na integral:
Passo 2
O lance agora é lembrar da seguinte identidade trigonométrica:
Portanto,
Substituindo na integral, teremos:
E repara que dá pra cortar o cosseno, e ficar apenas com:
Tá, aqui não vai ter jeito, você vai precisar lembrar que:
Ou seja, a derivada da cotangente é igual a menos a cossecante ao quadrado, e a cossecante nada mais é que 1/sen.
Portanto,
Dessa forma, essa integral resulta em:
Agora basta desfazer a substituição:
Logo,
Passo 3
Para fechar de vez a questão, vamos abrir essa cotangente...
Seno e Arcosseno são funções inversas, então quando você coloca uma dentro da outra, vc tem como resultado o valor de .
Por fim, podemos lembrar daquela relação trigonométrica básica, só que usando arcseno no argumento.
E já vimos que , portanto:
Fechou, agora é só substituir e partir pro abraço!