1b) Calcule as primitivas abaixo:
Passo 1
Veja bem, temos uma raiz de um polinômio de segundo grau no denominador. Muitas vezes isso cheira à substituição trigonométrica mas como temos um termo ao cubo em cima, uma ideia melhor seria fazer a substituição simples:
Ficaremos com:
É, ainda não foi. Sobrou um dentro da integral quando mudamos a variável. Mas não se preocupe, tirar ele da raíz é tranquilo, porque se:
Então:
A integral fica então:
Dividindo essa integral em dois, temos:
Passo 2
Bora resolver então a primeira integral. Se:
Podemos entender a primeira integral como:
Agora é bem tranquilo da gente resolver porque conhecemos a integral de uma potência de . Ficamos com:
Pra segunda integral, a ideia é a mesma, beleza? Reescrevendo ela então, ficamos com:
E resolvendo:
Show, fechamos a integração!
Voltando agora pra variável original, temos:
E tá respondida a questão! Lembrando sempre da constante de integração, fechamos:
Passo 3
Se quiséssemos usar a substituição trigonométrica, teríamos que usar a substituição
Porque veja bem, se fizermos essa substituição, teremos no denominador da função original:
E olha só olha lá! Dentro da raiz temos parte de uma identidade trigonométrica:
Beleza, então confirmada essa substituição, reescrevemos a integral para:
Essa nova integral pode ganhar uma nova substituição, uma vez que se fizermos:
Teremos:
Reescrevendo a integral:
Resolvendo a integral, ficamos com:
Voltando à variável , temos:
Seja:
Então reescrevemos o resultado:
Viu só? Mesmo resultado!