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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calcule a seguinte integral definida:

∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Cara, tem um termo com raiz ali e não dá para usar substituição simples. Essa é a dica para testarmos uma substituição trigonométrica para achar a primitiva dessa função.

Como no denominador a gente tem algo parecido com a 2 - x 2 , com a = 1 , vamos usar a substituição:

x = a   s e n   θ = s e n   θ

d x d θ = cos ⁡ θ ∴ d x = cos ⁡ θ   d θ

A integral fica assim:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ s e n 2 θ 1 -   s e n 2 θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ

Sabendo que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫ s e n 2 θ cos ⁡ θ 1 - s e n 2 θ d θ = ∫ s e n 2 θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ s e n 2 θ d θ

Passo 2

Agora a gente calcula essa integral. Vamos lembrar que:

s e n 2 θ = 1 - c o s   2 θ 2

Substituindo isso na nossa integral:

∫ 1 - c o s   2 θ 2 d θ = 11 2 θ - 1 2 ∫ c o s   2 θ d θ

Vamos resolver essa integral que apareceu com a substituição:

t = 2 θ ,     d t d θ = 2 ∴ d t 2 = d θ

∫ c o s   2 θ d θ = ∫ c o s   t 2 d t = sen ⁡ t 2 = sen ⁡ 2 θ 2

E nossas continhas ficam:

∫ s e n 2 θ d θ = 1 2 θ - 1 2 ∫ c o s   2 θ d θ = 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Lembrando que sen ⁡ 2 θ = 2   s e n   θ cos ⁡ θ :

∫ s e n 2 θ d θ = 1 2 θ - 1 2 s e n   θ cos ⁡ θ

Passo 3

Mas a nossa integral estava em função de x . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

x = s e n θ ∴ x = 1   s e n θ ∴ x 1 = s e n   θ ∴ θ = a r c s e n   x 1

Desenhando o triângulo retângulo com essa característica, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

θ = a r c s e n   x 1 = a r c s e n x ,     s e n   θ = x 1 = x ,     cos ⁡ θ = 1 - x 2 1 = 1 - x 2

Substituindo esses valores na nossa resposta:

∫ x 2 1 - x 2 d x = 1 2 θ - 1 2 s e n   θ cos ⁡ θ = 1 2 a r c s e n   x - 1 2 x 1 - x 2

Passo 4

Lembra que essa integral é definida? Então a gente precisa aplicar os extremos de integração na nossa primitiva:

∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x = 1 2 a r c s e n   x - 1 2 x 1 - x 2 0 1 2 = 1 2 ⋅ π 6 - 1 4 1 - 1 4 - 0 + 0

∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x = π 12 - 1 8 3

Resposta

π 12 - 1 8 3

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