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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Substituição Trigonométrica

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

b ) ∫ d x x 4 x 2 + 9

Passo 1

Essa raiz no denominador me faz pensar em Substituição Trigonométrica. O que acontece é que temos que definir que caso é esse. Se você lembrar bem (ou der aquela sacada básica na nossa teoria) vai lembrar que esse é o caso do a 2 + x 2 e que gera essa substituição:

x = a tg ⁡ ( θ ) = 3 tg ⁡ ( θ )   ; d x = 3 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

∫ d x x 4 x 2 + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ 3 tg ⁡ θ 4 3 tg ⁡ θ 2 + 9

Daí para frente é resolução e álgebra:

∫ 3 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ 3 tg ⁡ θ 4 9 tg 2 ⁡ θ + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ 3 tg ⁡ θ 4 3 sec ⁡ θ = ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ 3 tg ⁡ θ 4

1 3 4 ∫ 1 cos ⁡ θ d θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ 4 = 1 81 ∫ cos ⁡ θ 3 d θ sen ⁡ θ 4 = 1 81 ∫ cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 4 cos ⁡ θ d θ

= 1 81 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ 4 cos ⁡ θ d θ

u = sen ⁡ ( θ )   ; d u = cos ⁡ ( θ ) d θ

1 81 ∫ 1 - u 2 u 4 d u = 1 81 ∫ 1 u 4 - u 2 u 4 d u = 1 81 ∫ u - 4 - u - 2 d u

= 1 81 u - 3 - 3 - u - 1 - 1 = 1 81 1 sen ⁡ θ - 1 3 sen 3 ⁡ θ

Agora temos que voltar isso para x . Para isso usamos aquele triângulo que nos guia bem pela substituição. Sendo então a relação inicial da substituição tg ⁡ ( θ ) = x 3 :

No triângulo temos como seno o x 9 + x 2 . Substituímos ali:

1 81 1 x 9 + x 2 - 1 3 x 9 + x 2 3 = 1 81 9 + x 2 x - ( 9 + x 2 ) 9 + x 2 3 x 3 + C

Resposta

∫ d x x 4 x 2 + 9 = 1 81 9 + x 2 x - ( 9 + x 2 ) 9 + x 2 3 x 3 + C

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