Calcule:

b )   ∫ sin 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos continuar com as nossas integrais!! Belezinha?

Essa aqui tem um formato particular que torna conveniente usar a seguinte técnica! Saca só! Se temos uma integral da forma:

∫ sin 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) d x

Podemos fazer mudanças de variáveis, do tipo u d u , para resolver este problema! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer para conseguir utilizar u d u , é lembrar que:

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 - cos 2 ⁡ ( x )

Ou seja, temos:

∫ sin ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) d x - ∫ sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x

Vamos lembrar algumas integrais que vamos precisar! Beleza?

Passo 3

Primeiro, temos que:

∫ sin ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x + C 1

Essa é a primeira integral! A segunda, no entanto, precisa de um cuidadinho maior! Saca só!

Passo 4

Podemos fazer a seguinte mudança de variáveis:

u = cos ⁡ ( x ) → d u =   - sin ⁡ ( x ) d x

Ou seja, nossa segunda integral fica da forma:

∫ sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x = - ∫ u 2 d u

Agora só precisamos calcular uma integral de polinômio, muito melhor neh? Bora lá!

Passo 5

Uma integral de polinômio segue sempre a fórmula:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, temos que:

- ∫ u 2 d u = - u 3 3 + C 2

Finalmente, temos que:

∫ sin ⁡ x d x - ∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C 1 - - u 3 3 + C 2

Reescrevendo um pouquinho, temos que:

∫ sin 3 ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x + u 3 3 + C 3

Em que C 3 = C 1 - C 2   . Precisamos voltar a variável original, portanto, usando u = cos ⁡ ( x ) , temos:

∫ sin 3 ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C 3

Mais uma alternativa já foi! Bora bora para a próxima!

Resposta

∫ sin 3 ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C 3

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