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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 12.4

Calcule ∫ tan ⁡ ( x ) d x .

Passo 1

Falaii galerinha do responde aiii

Para calcular a integral definida de t a n x   d x , você pode usar a técnica de substituição trigonométrica. Vamos começar com a substituição:

Substituição trigonométrica:

Seja u   =   t a n ( x ) . Isso implica em d u   =   s e c 2 ( x )   d x .

Agora, vamos resolver para dx:

      d x   = d u s e c 2 x

Substitua dx e u na integral:

      ∫ t a n x   d x   =   ∫ u   *   d u s e c 2 x

Observe que s e c 2 ( x ) é igual a 1   +   t a n 2 ( x ) . Como u   =   t a n ( x ) ,   s e c 2 ( x )   =   1   +   u 2 .

Agora, a integral se torna:

      ∫ u   *   d u 1   +   u 2

Passo 2

Você pode simplificar ainda mais usando a seguinte identidade trigonométrica:

      ∫ u   *   d u 1   +   u 2   =   ∫ u 1 2 1   +   u 2   d u

Agora, você pode usar uma substituição simples para resolver esta integral:

Seja w   =   u 2 . Isso implica em d w   =   2 u   d u .

Resolva para du:

d u   = d w 2 u

Substitua du e w na integral:

      ∫ u 1 2 1   +   u 2   d u   =   ∫ u 1 2 1   +   u 2   *   d w 2 u  

Passo 3

Observe que   u 1 2 / u é igual a u - 1 2 , ou seja, 1 / u .

Portanto, a integral se torna:

        1 2   ∫ 1 1   +   u 2   d w

Agora, você pode resolver esta integral usando a fórmula da tangente inversa:

        1 2   ∫ 1 1   +   u 2   d w   =   1 2 * 1 2 * arctan ⁡ ( u ) +   C

onde C é a constante de integração.

Lembre-se de que u   =   t a n ( x ) , então a resposta final é:

        1 4   * arctan ⁡ ( tan ⁡ x )   +   C .

onde C é a constante de integração.

Resposta

        1 4   * arctan ⁡ ( tan ⁡ x )   +   C .

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